Евгений родился в семье Якова Ильича и Евгении Эммануиловны Весник. Яков Весник был строителем и первым директором «Криворожстали». В 1937 году Яков Весник был расстрелян. 

В 1941 году Евгений Весник добровольцем ушел на фронт, окончил артиллерийское училище в звании младшего лейтенанта.  

После окончания войны, в 1948 году окончил театральное училище имени М. С. Щепкина и был принят в драматический театр им. К. С. Станиславского. С 1954 года Евгений Весник служил в театре Сатиры, с 1963 по 1992 годы — в труппе Малого театра. 

В 1955 году исполнил свою первую роль в кино, в картине Юлия Райзмана «Урок жизни». В этом же году он сыграл Родериго в «Отелло» Сергея Юткевича. 

 

На счету Евгения Весника множество ролей в любимых зрителями фильмах, среди которых «Тема» Глеба Панфилова, «Офицеры» Владимира Рогового, «По улицам комод водили» Марка Генина и Николая Ковальского. 

 

Скончался 10 апреля 2009 года.