Александр Адабашьян родился 10 августа 1945 года в Москве. В детстве занимался в театральной студии, но позже увлекся рисованием и после школы поступил в Строгановское училище.

В кино Адабашьян пришел в 1970 году, поступив декоратором на дипломный фильм Никиты Михалкова «Спокойный день войны». Позже стал работать в качестве сценариста. На его счету работа над такими картинами, как «Пять вечеров», «Неоконченная пьеса для механического пианино», «Несколько дней из жизни И.И. Обломова»,  «Рецепт ее молодости», «Солнечный удар» и другим.

В качестве режиссера снял картины «Мадо, до востребования» и «Азазель». В качестве художника-постановщика работал на картинах «Свой среди чужих, чужой среди своих», «Раба любви», «Сибириада» и др.

Также Адабашьян исполнил эпизодические роли в ряде картин. Наиболее известен он благодаря роли камердинера Бэрримора в «Приключениях Шерлока Холмса и доктора Ватсона».

Заслуженный художник РСФСР (1983), лауреат Государственной премии Казахской ССР (1978). Награжден Призом молодежного жюри (1990) и Премией имени Феллини (1993, за лучший европейский сценарий) МКФ «Европа Синема» в Равенне, Премией имени Флайяно «Серебряный пегас» (1991, за лучший иностранный сценарий) МКФ в Римини.

Коллектив Библиотеки киноискусства желает Александру Адабашьяну дальнейших творческих успехов.